こんにちは。筆者のマニカです。
今回は『フーリエ変換』について(全三編に渡ってご紹介しますが、今回はその第一編)。
理工系の大学生から技術系の職種に就かれている社会人の方であれば必ずや聞いた事があるワードかと思います。
画像解析や音声解析、X線や紫外線・赤外線などの光を用いた固体物性に関する解析など、工業的に様々な分野で使われている『フーリエ変換』は非常に重要な数学のテクニックだと思いますが、いざそれを説明しろと言われるとしっかり説明できる人は多くはないのでは？と思います。
筆者もその一人ですが、言葉の概念だけを知っていて分かったつもりになっていますが、その詳細については理解していない所が多い為、今回は筆者の備忘録がてらフーリエ変換についてまとめていきたいと思います。
※以降で記述する内容で間違いなどがあるかもしれませんので、その際はコメント欄にてビシバシご意見頂けましたら幸いです。
フーリエ変換について
フーリエ変換とは、ざっくりいうと
STEP①：周期性のない関数を\( \sin nx \)と\( \cos nx \)の三角関数の足し合わせで近似。
STEP②：横軸は\( nx \) (その間隔を極限まで0にする)を、縦軸は\( \sin nx \)と\( \cos nx \)のそれぞれの係数を表現したモノをグラフ又は数値で表現できる関数\( F(k) \)に変換。
STEP①をした後にSTEP②をする作業の事をいいます。
ちなみに周期性のある関数の変換は後述するフーリエ級数展開といいます。
と、ざっくり言葉で書いても何のこっちゃ？って話ですよね？
そこで、数式を使ってフーリエ変換を説明していきたい所ですが、筆者レベルだといきなり紹介するのは無理なので、以下の3編(3ステップ)に分けてご紹介していきたいと思います。
■第1編：フーリエ級数について(実数のみ)
■第2編：虚数を用いた複素形式のフーリエ級数について
■第3編：フーリエ変換とは
今回は、第一編の『フーリエ級数について』をご紹介していきたいと思います。
フーリエ級数とは
フーリエ級数とは、ある関数\( f(x) \)を\( \sin x \)と\( \cos x \)の三角関数の足し合わせで近似できる公式の事を言います。
(※ただし、\( f(x) \)はある範囲、例えば\( -\pi\)≦\( x\)≦\( \pi\)で連続な関数である事が前提)
そんな魔法のような関数であるフーリエ級数は以下の(1)式で示されます。
$$ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ｎ\cos nx + b_n \sin nx) \tag{1}$$
$$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx dx \tag{2}$$
$$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx \tag{3}$$
なぜ、フーリエ級数の係数\(a_n\)と\(b_n\)がそれぞれ(2)式、(3)式で示されるのか？と疑問に思われるかもしれません。
その導出方法ですが、まずは2(式)の場合について、
(1)式の両辺に\( \cos nx \)をかけて\( -\pi\)≦\( x\)≦\( \pi\)の範囲で積分します。
すると下記のような式となります。
\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx dx &=& \int_{-\pi}^\pi\frac{1}{2}a_0 \cos nx dx + \int_{-\pi}^\pi a_1 \cos x\cos nx dx \cdots \\ \\
&+& \int_{-\pi}^\pi b_1 \sin x\cos nx dx +\int_{-\pi}^\pi b_2 \sin 2x\cos nx dx \cdots \\ \\
&=& \int_{-\pi}^\pi a_n \cos nx\cos nx dx \\ \\
&=& \pi a_n \tag{4}
\end{eqnarray}
$$
よって、
$$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx dx$$
となり、(2)式が導出されます。
ここで(4)式の導出の過程で、なぜ\(\int_{-\pi}^\pi a_n \cos nx\cos nx dx\)だけが残るのか？という疑問が生じるかもしれません。
そこで登場するのが『クロネッカーのデルタ』と呼ばれる下記の数式になります。
$$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \cos nx \cos mx dx = \delta_{mn} \mbox{(m, nは整数)}$$
又は
$$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \sin nx \sin mx dx = \delta_{mn} \mbox{(m, nは整数)}$$
クロネッカーのデルタ\(\delta_{mn}\)は面白い性質をもっていて、m = n の時は1で、m ≠ n の時には0になります。
『2つの関数を掛け合わせて積分すると0になる性質』を関数でいう『直交性』といいます。ここでの直交性とは、一般的に使われる2つの直線が交わる角度が90°の直交とは別の意味なので分けて考えて下さい。
このクロネッカーのデルタをうまい事利用したのが(4)式です。
(4)式では、\(\int_{-\pi}^\pi a_n \cos nx\cos nx dx\)以外は全てm ≠ nであり直交性があるので『m ≠ nの時の答えは全て0』になります。
ちなみに本当に0になるかどうかはここでは省略しますが、試しに\(\int_{-\pi}^\pi a_n \cos x\cos 2x dx\)などを計算してみたら分かると思います。
三角関数の『積和の公式』を用いて計算すれば解が0になる事が分かるはずです。
フーリエ係数の\(b_n\)について、つまり(3)式についても同様の手法で(1)式の両辺に\( \sin nx \)をかけて\( -\pi\)≦\( x\)≦\( \pi\)の範囲で積分します。
そして、クロネッカーのデルタの性質を利用すれば、\(b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx\)が導き出せます。
フーリエ級数の係数の\(a_n\)と\(b_n\)の持つ意味とは？
フーリエ級数の公式とその導出方法は上述でご説明しましたが、求められる係数\(a_n\)と\(b_n\)はどういった意味があるのかについて簡単にご説明します。
フーリエ級数は1~nまでのn個ある\(\sin nx\)と\(\cos nx\)のすべてが互いに直交しており、それらの足し合わせで関数\(f(x)\)を近似します。
つまり、係数\(a_n\)と\(b_n\)は\(\sin nx\)と\(\cos nx\)はどの程度\(f(x)\)に近いかを示す重み付け的な係数になります。
例えば関数\(f(x)\)が\(\sin nx\)に近い要素を持っているとすると、係数\(b_1\)が大きい値となり、逆に関数\(f(x)\)が\(\cos 3x\)の要素をほとんど持っていないとすると、係数\(a_3\)は小さい値となります。
ベクトルで例えるならば、n次元空間においてある方向を向いたベクトルに関して、1~n次の基底ベクトルの係数を求める作業のようなものとなります。
まとめ
という事で、今回は工業的に様々な分野で使われている『フーリエ変換』について、それを説明する為の基礎的な部分のフーリエ級数のテクニックについてご紹介しました。
最終目標はフーリエ変換を理解する事ですので、まだ道半ば、、、。今回はその為のステップ1(第一編)として実数のみのフーリエ級数についてご説明しましたが、次回(第二編)は虚数を用いた複素形式のフーリエ級数をご紹介したいと思います。
そして、最後の第三編でやっとこさ、『フーリエ変換』についてご紹介していきたいと思います。
最後まで閲覧頂きましてありがとうございました。
今日はここまで。それでは～。
